Математика. Профильный уровень

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение ( x+1 )⋅| x+1 |=2x−a имеет ровно два различных корня.

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 021. а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 351? б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 11? в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом n. Найдите наименьшее возможное значение n.

С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3. а) Могло ли в результате такой операции получиться число 300? б) Могло ли в результате такой операции получиться число 151? в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 600 включительно?

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 6, а среднее арифметическое шести наибольших равно 12. а) Может ли наибольшее из этих десяти чисел равняться 14? б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 8,4? в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

Над парами целых чисел проводится операция: из пары a; b получается пара 3a+b; 3b−a. а) Можно ли из какой-то пары получить пару 5; 5? б) Верно ли, что если пара c; d может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара −d; c тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции? в) Зададим расстояние между парами целых чисел a; b и c; d выражением a−c+b−d. Найдите наименьшее расстояние от пары 9; 2 до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений. а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз? б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз? в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 033. а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 303? б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 31? в) Отношение двух записанных на доске чисел является квадратом натурального числа n. Найдите наименьшее возможное значение n.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение ( 4x−3| x+ a 2 |+| x−1 |+3 a 2 ) 2 −( a+1 )( 4x−3| x+ a 2 |+| x−1 |+3 a 2 )+4=0 имеет ровно два различных корня.

Из пары натуральных чисел , где , за один ход получают пару . а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары пару, большее число в которой равно 400? б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары пару ? в) Какое наименьшее может быть в паре , из которой за несколько ходов можно получить пару ?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение ( | x− a 2 |+| x+1 | ) 2 −7( | x− a 2 |+| x+1 | )+4 a 2 +4=0 имеет ровно два различных корня.

Ваня написал на доске трёхзначное число A. Петя переписал это число A, вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число B. Коля тоже переписал это число A, вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что и Петя) и получил двузначное число C. а) Может ли быть верным равенство A=B⋅C, если A>150? б) Может ли быть верным равенство A=B⋅C, если 540≤A<600? в) Найдите наибольшее число A, для которого может быть верным равенство A=B⋅C.

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения.

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше −120. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек. а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек? б) Может ли число красных карточек на столе быть на 90 больше числа синих карточек на столе? в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 2x−1 ⋅ln( 4x−a )= 2x−1 ⋅ln( 5x+a ) имеет ровно один корень на отрезке [ 0; 1 ].

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x+2a ⋅ln( x−a )=( x−1 )⋅ln( x−a ) имеет ровно один корень на отрезке [ 0; 1 ].

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 45 и меньше 120. а) Может ли на доске быть 5 чисел? б) Может ли на доске быть 6 чисел? в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 4 x 2 − a 2 x 2 +6x+9− a 2 =0 имеет ровно два различных корня.

Из правильной несократимой дроби a b, где a и b — натуральные числа, за один ход получают дробь a+b 2a+b. а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби 1 3 получить дробь 22 31? б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь 7 12? в) Несократимая дробь c d больше 0,7. Найдите наименьшую дробь c d , которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода?

Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система уравнений { | x |+| y |=a, y= x+4 имеет ровно два различных решения.

Есть 4 камня, каждый массой 7 тонн, и 9 камней, каждый массой 22 тонны. а) Можно ли разложить все эти камни на две группы так, чтобы разность суммарных масс камней в этих группах составила 8 тонн? б) Можно ли разложить все эти камни на две группы, суммарные массы камней в которых равны? в) Все камни хотят разложить на две группы. Какое наименьшее положительное значение (в тоннах) может принимать разность суммарных масс камней в этих группах?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение | x 2 + a 2 −6x−4a |=2x+2a имеет четыре различных корня.

Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров. а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной 16 см на куски длиной 1 см? б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной 100 см на куски длиной 1 см? в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной 200 см на куски длиной 1 см?

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений { x 4 − y 4 =12a−28, x 2 + y 2 =a имеет ровно четыре различных решения.

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 25 и меньше 85. а) Может ли на доске быть 5 чисел? б) Может ли на доске быть 6 чисел? в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

а) Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? б) Можно ли представить число 599 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы семи различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день. а) Может ли n быть больше 5? б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4? в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое — трёхзначное и оба кратны 45. а) Может ли сумма такой пары чисел равняться 2205? б) Может ли сумма такой пары чисел равняться 3435? в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день. а) Может ли n быть больше 6? б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4? в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 5. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

По окружности в некотором порядке расставлены натуральные числа от 1 до 12. Между каждыми двумя соседними числами написали модуль их разности. Затем исходные числа стёрли. а) Приведите пример расстановки, когда сумма полученных чисел равна 32. б) Может ли сумма полученных чисел быть равна 29? в) Какое наибольшее значение может принимать сумма полученных чисел?